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树状数组是一种能够高效求解「区间问题」的数据结构。「区间问题」指的是对于大小为 n 的输入数组 nums ，通过其上执行「区间求和」、「区间修改」等操作 (通过不同类型的树状数组) 来处理的问题，解决区间问题的过程中通常还伴随着针对单个元素的「单点查询」、「单点修改」这两种单点操作。

线段树是著名的用于高效求解「区间问题」的数据结构。「区间问题」即对于输入数组 nums ，在其上执行「区间求和」 、「区间修改」等操作，通常还伴随着针对单个元素的「单点查询」、「单点修改」这两种单点操作。

并查集 (不相交集) 是一种描述不相交集合的数据结构，即若一个问题涉及多个元素，它们可划归到不同集合，同属一个集合内的元素等价（即可用任意一个元素作为代表，比如上述的互为亲戚即互相等价），不同集合内的元素不等价。本文将带领读者重新发明并查集。

两万五千字全面介绍如下十种排序算法：冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、归并排序、快速排序、堆排序、计数排序、基数排序、桶排序。

从动态规划的角度证明 Floyd-Warshall 算法正确性。

从动态规划角度证明 Bellman-Ford 以及 SPFA 的正确性，并指出后者为何为前者的改进。

详细证明最大流最小割定理，兼证明 Ford-Fulkerson 方法正确性。

用反证法严格证明 Dijkstra 算法。

证明 Dinic 算法时间复杂度为 O(|V|^2|E|) ，给出详细证明过程。

证明 Edmonds-Karp 算法时间复杂度为 O(|V||E|^2) ，给出详细证明过程。